準有限射

数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、有限型かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う。

• X の全ての点 x はファイバー f⁻¹(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。

• X の全ての点 x に対して、スキーム f⁻¹(f(x)) = X ×_YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。

• X の全ての点 x に対して、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\otimes \kappa (f(x))}$ は ${\displaystyle \kappa (f(x))}$ 上有限生成である。

準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2 で定義されたときに、準有限性を茎を使って代数的に特徴づけるために追加された。

スキームの射 f : X → Y と X の点 x に対して、f が x で準有限とは、x の開アフィン近傍 U と f(x) の開アフィン近傍 V が存在して、f(U) が V に含まれ、制限 f : U → V が準有限であることを言う。f が局所的に準有限（locally quasi-finite）とは、X の全ての点で準有限であることを言う。準コンパクトかつ局所的に準有限な射は準有限射である。

性質

f を射とすると、以下が成り立つ。

• f が準有限なら、被約スキームの間に誘導された射 f_red も準有限である。

• f が閉埋入なら f は準有限である。

• X がネーターで f がはめ込み（immersion）なら f は準有限である。

• 射 g : Y → Z に対し、g ∘ f が準有限で、さらに以下のいずれかが満たされるなら、f は準有限である。
  1. g は分離射
  2. X はネーター
  3. X ×_Z Y は局所ネーター

準有限性は基底変換で保たれる。準有限射の合成やファイバー積は準有限である。f が点 x で不分岐なら、f は x で準有限である。逆に、f が x で準有限で、ファイバー f⁻¹(f(x)) での x の局所環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)),x}}$ が体でしかも κ(f(x)) の有限次分離拡大になっているなら、f は x で不分岐である。

有限射は準有限である。局所的に有限表示な準有限固有射は有限である。実は、射が有限であるのは固有かつ準有限のとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。

一般化されたザリスキの主定理（Zariski's main theorem）とは次の主張である。Y を準コンパクトかつ準分離的、f を準有限かつ分離的かつ有限表示とする。このとき、f は ${\displaystyle X\hookrightarrow X'\to Y}$ と分解する。ここで、最初の射は開埋入で、次の射は有限射である。つまり、X は Y 上有限なスキームの開集合である。

脚注

参考文献

• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud (2003) (フランス語). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3) (Updated ed.). Société Mathématique de France. p. xviii 327. ISBN 2-85629-141-4 
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné (1961). “Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 8: 5–222. doi:10.1007/bf02699291. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_. 
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné (1966). “Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 28: 5–255. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1966__28_.