ボッチャーの方程式

数学においてルシアン・ボッチャーの名にちなむボッチャーの方程式（ボッチャーのほうていしき、英: Böttcher's equation）とは、次の函数方程式のことを言う。

F(h(z))=(F(z))^{n}~.

但し、

h は、a において位数 n ≥ 2 の超吸引的な不動点を持つ解析函数（すなわち、a の近傍において $h(z)=a c(z-a)^{n} O((z-a)^{n 1})$ ）；
F は求める函数。

この函数方程式の対数は、シュレーダーの方程式に等しい。

解

ルシアン・ボッチャーは1904年、F(a) = 0 であるような不動点 a のある近傍における解析解 F の存在を示した。この解はしばしば、ボッチャー座標（Böttcher coordinate）と呼ばれる（完全な証明は1920年、ジョセフ・リットによって与えられた。しかし彼は、元の公式については気付いていなかった）。

ボッチャー座標（シュレーダー函数の対数）は、函数 zⁿ の不動点のある近傍において h(z) と共役になる。特に重要なケースは h(z) が次数 n の多項式で、a = ∞ である場合である。