複素微分形式

数学では、複素微分形式(complex differential form)は、複素数係数を持つ多様体（通常は複素多様体）上の微分形式である。

複素微分形式は、微分幾何学において広く応用されている。複素多様体上での代数幾何学やケーラー幾何学やホッジ理論の多くで、複素微分形式は重要な基本としなっている。複素多様体でない場合でも、複素微分方程式は概複素構造やスピノルの理論やCR構造の研究で重要な役割を果たしている。

典型的には、複素微分形式は容易に期待される分解を持つ考えられている。たとえば、複素多様体上では、任意の k-形式が一意に (p,q)-形式に分解する。(p,q)-形式とは、大まかには、正則座標の p 個の外微分と、その複素共役の q 個の外微分のウェッジ積である。(p,q)-形式の集合は、基本的研究対象であり、k-形式以上に、多様体の幾何学的構造をよりよく反映定する。たとえば、ホッジ理論が適用可能な場合は、（k-形式よりも）良い多様体の構造が存在する。

複素多様体上の微分形式

M が複素多様体であるとすると、n 個の複素変数函数 z¹,...,zⁿ からなる局所座標変換が存在し、ある点の近傍から別の点の近傍への座標変換が複数の変数 zⁱ の正則函数となる。複素微分形式の空間は、豊かな構造を持っていて、基本的には、座標変換の函数が滑らか(smooth)であることよりも正則であることに依存している。

1-形式

1-形式の場合からはじめる。最初に、それぞれの j について複素数の座標を実部と虚部 z^j = x^j iy^j へ分解する。

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j} idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

とおくと、複素数係数を持つすべての微分形式は、和

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}f_{j}dz^{j} g_{j}d{\bar {z}}^{j}.}$

と書くことができることが分かる。

Ω^1,0 を ${\displaystyle dz}$ のみを含む複素微分形式の空間とし、Ω^0,1 を ${\displaystyle d{\bar {z}}}$ のみを含む空間とすると、コーシー・リーマンの方程式により空間 Ω^1,0 と Ω^0,1 は正則座標変換の下で不変である。言い換えると、異なる正則座標系 w_i を選んでも、Ω^0,1 の元による変換とともに、Ω^1,0 の元もテンソル的に変換する。このように空間 Ω^0,1 と Ω^1,0 は複素多様体上の複素ベクトル場を定義する。

高次の形式

複素微分形式のウェッジ積は、実形式と同様な方法で定義される。p と q を非負な整数 ≤ n のペアとすると、(p,q)-形式の空間 Ω^p,q は、Ω^1,0 の p 個の元と Ω^0,1 の q 個の元のウェッジ積の線型結合により定義される。記号で書くと、

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}\wedge \Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}}$

であり、ここに Ω^1,0 の p 個の要素、Ω^0,1 の q 個の要素が存在する。まさに、1-形式の 2つの空間が、座標の正則な変換の下で安定であるので、ベクトルバンドルを決定する。

E^k を全次数 k の全複素微分形式の空間とすると、E^k の各々の元は一意な方法で p q = k である空間 Ω^p,q の元の線型結合で表わすことができる。より簡潔に言うと、直積分解

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p q=k}\Omega ^{p,q}}$

となる。直積分解は正則座標変換の下に安定であるから、直積分解はベクトルバンドルの分解をも決定する。

特に、各々の k = p q である p と q に対し、ベクトルバンドルの標準的な射影

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}}$

が存在する。

ドルボー作用素

通常の外微分は、切断の写像 d:E^k→E^{k 1} を定義する。この写像を Ω^p,q の切断に限定すると、実際 d:Ω^p,q→Ω^{p 1,q} Ω^{p,q 1} である 外微分は多様体のより厳密な複素構造を反映はしない。

d と前のサブセクションで定義されたことを使うと、ドルボー作用素(Dolbeault operators)

${\displaystyle \partial =\pi ^{p 1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p 1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q 1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q 1}}$

と定義することができる。これらの作用素を局所座標で表わすため、

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

とおく。ここに I と J は複数のインデックスを持っている。すると、

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

が成り立つ。

次の性質も成り立つことが分かる。

${\displaystyle d=\partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }} {\bar {\partial }}\partial =0.}$

これらの作用と性質は、ドルボーコホモロジーの基礎とホッジ理論の様々な面を与える。

正則形式

各々の p に対し、正則 p-形式はバンドル Ω^p,0 の正則切断である。局所座標では、正則 p-形式は、

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

と書くことができる。ここに f_I は正則函数である。同じことであるが、(p,0)-形式 α が正則であることと、

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

は同値である。正則 p-形式の層は、よく Ω^p と表わされるが、混乱を時々招くので、代わりの記法を使うようになってきている。

参照項目

• ドルボー複体
• フローリッヒのスペクトル系列(Frölicher spectral sequence)
• 第一種微分(Differential of the first kind)

参考文献

• Wells, R.O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0